Los cuatro colores.

Ilustración: | Raquel Garcia Ulldemolins

Hace algún tiempo os contaba en este mismo blog mi primera actuación como mamá 
matemática en la clase del mayor de mis hijos, cuando éste tenía 3 años. Pues bien, tras el éxito obtenido con el diagrama de Voronoi y su indiscutible utilidad para el reparto justo de caramelos, me crecí y desde entonces he seguido visitando,cada vez que puedo y me invitan, las clases de mis dos hijos, para hacer shows matemáticos.

En esta gira artística, hace unos meses, otra vez en la clase del mayor, 5º de primaria, (cómo pasa el tiempo…), presenté el Teorema de los cuatro colores, esta vez con la ayuda de Mati, nuestro pequeño proyecto de divulgación para niños.
Para esta ocasión el planteamiento fue el siguiente: 

“Si dibujáis un mapa con provincias, por muy, muy difícil y enrevesado que lo dibujéis, yo lo puedo colorear bien usando sólo 4 colores diferentes.
Entendiendo por colorear bien que si dos provincias comparten un trozo de frontera por muy, muy poco que compartan, ésas deben ser coloreadas con colores distintos.”

Como siempre, la curiosidad de los niños no tardó en aparecer y uno ellos preguntó:

“Y si sólo tiene 3 provincias, ¿cómo vas a usar los 4 colores?”

Ésa era fácil.

El teorema de los 4 colores asegura que cualquier mapa, como máximo, necesita 4 colores para ser bien dibujado, pero no siempre son necesarios. “Pensad por ejemplo en un país formado sólo por islas. En ese caso, con un sólo color sería suficiente.”
La siguiente pregunta no tardó en ser planteada: “ Y España, ¿necesita los 4 colores?”

Para ésta también estaba preparada, de hecho en el capítulo de Mati que iba a presentar en unos minutos, se explicaba por qué España necesita usar los 4 colores, ni uno menos, para ser bien coloreada. Para ello, nos fijábamos en Cuenca y la coloreábamos de azul.

Al tratar de colorear las provincias que rodean a Cuenca, empezamos usando dos colores, de forma alternada, rojo y verde. Pero como el número de provincias que rodean a Cuenca es impar, para cerrar ese ciclo, necesitamos un nuevo color, que no puede ser ni rojo, ni verde, ni tampoco azul. Lo que nos obliga a emplear el cuarto color para Guadalajara. El amarillo, por ejemplo.

Éste es uno de las primeros hechos que se explican cuando se habla en Teoría de Grafos, de coloreado de éstos: Todo ciclo de longitud impar, necesita 3 colores para ser colorado. Donde, cuando decimos un ciclo, nos referimos a una secuencia de aristas y vértices conectados en forma circular.

Mientras que si el ciclo tiene un número par de vértices, sólo 2 colores serán necesarios y suficientes, como podemos ver en la figura siguiente.

Huy, es cierto… He pasado de hablar de coloreado de mapas a coloreado de grafos sin justificarlo. Voy a tratar de hacerlo con una imagen por aquello de que éstas valen más que no sé cuántas, pero muchas palabras. Si en el mapa de la comunidad andaluza, por ejemplo, ponemos un vértice por cada provincia y una arista entre dos provincias si éstas son limítrofes, nos quedará el siguiente grafo.

Colorear ese grafo consiste en asignar colores a los vértices (puntos) de forma que no haya vértices unidos con el mismo color. Andalucía nos sale con sólo 3 colores y no con menos de 3, porque para Sevilla, Huelva y Cádiz ya necesitamos 3.

Ea, pues ya lo tenemos. Asignamos el color de los vértices del grafo a la correspondiente provincia y hemos terminado.

Volvamos a la clase de 5º de primaria.

La mejor pregunta de todas fue “¿Por qué quieres usar pocos colores? ¿No quedaría más mono con más colorido?”

Esta pregunta era la más interesante de todas y confieso que, muchas veces, la he echado de menos cuando explico Matemática Discreta a mis estudiantes en la Universidad. Es entonces cuando me reafirmo en mi teoría de que los niños son curiosos por naturaleza y a medida que crecen esa curiosidad se va desvaneciendo, o cambia de interés, porque a partir de cierta edad la pregunta casi siempre es “¿Esto cae en el examen?”

El reto de responder esa pregunta no era fácil con unos alumnos de primaria, pero no podía dejar aquella pregunta sin responder.

Vamos a ello.

Y así, de paso, os explico por qué y para qué la Teoría de Grafos se ha dedicado y se dedica a colorear grafos con el mínimo número de colores posibles.

Una vez convencidos de que colorear mapas es colorear grafos, la siguiente prueba era mostrarles que no se trataba de una cuestión sólo estética sino de optimización de recursos.

| Naukas